一度以下のように、Scene Graphを初期化（インスタンス生成）しておけば、

private Stage stage;
public void start(Stage stage){
AnchorPane root = FXMLLoader.load(getClass().getResource("/layout1.fxml"));
stage.setScene(new Scene(root, 1366, 768));

Scene Graphの中のコンテナ(Container)を切り替える場合setRootメソッドで行えば画面が切り替わります。

AnchorPane root2 = FXMLLoader.load(getClass().getResource("/layout2.fxml"));
stage.setRoot(root2);

JavaFXをはじめて使う上で、豊富なサンプルを載っているので、新しくコードを作成する上で役に立つと思います。